Conhecermatemática
Conhecermatemática
quinta, 15 junho, 2017
OS PARADOXOS DE ZENÃO

Os paradoxos de Zenão, atribuídos ao filósofo pré-socrático Zenão de Eleia, são argumentos utilizados para provar a inconsistência dos conceitos de multiplicidade, divisibilidade e movimento. Através de um método dialético que antecipou Sócrates, Zenão procurava, partindo das premissas de seus oponentes, reduzi-las ao absurdo e com isso sustentar o ponto de fé dos eleáticos e de seu mestre Parmênides, que ia contra as idéias pitagóricas. Como em outros pré-socráticos, não possuímos na atualidade nenhuma obra completa de Zenão, sendo as fontes principais para os seus paradoxos as citações na obra de Aristóteles e do comentador aristotélico Simplício.

Dicotomia
 
Imagine um atleta querendo correr uma distância de 60m, para chegar no final do percurso ele primeiro terá que passar no ponto que corresponde a 1/2 (metade) do percurso, depois no próximo ponto que corresponde a 2/3 do percurso, depois 3/4 do percurso, para assim chegar a 4/5 do percurso e depois 5/6 do percurso e depois 30/31 do percurso ao ponto correspondente a 199/200 e depois ao ponto 5647/5648 do percurso (que numericamente corresponderia a 59,9893798 metros), tendendo assim a ser um número infinito de pontos antes que o corredor chegue ao final.
 
Como o infinito é uma abstração matemática que significa algo que não tem limite, o atleta jamais conseguiria chegar ao final do percurso (60 metros), pois ele teria que percorrer infinitos pontos para chegar a um final, se ele chegasse ao fim depois de percorrer o infinito, significaria que este infinito tem um fim, como isto não é possível, gera assim o paradoxo.
 
"O problema por trás da Dicotomia, que é o mesmo que o do Aquiles, parece repousar na intuição de que o corredor demora um tempo finito mínimo para percorrer cada intervalo espacial sucessivo. Como há infinitos desses intervalos, o tempo de transcurso seria infinito. Porém, sabemos que essa intuição é errônea: o tempo de percurso por cada intervalo é proporcional ao comprimento do intervalo (supondo velocidade constante). Esse ponto foi apontado por Aristóteles (Física VI, 233a25), mas em outro trecho ele se confundiu com relação à presença de infinitos intervalos finitos de tempo (Física VIII, 263a15). Da mesma maneira que os intervalos espaciais somam 1 na série convergente, os intervalos temporais também o fazem. O corredor acaba completando o percurso!"
 
Aquiles e a tartaruga
 
É contado sob a forma de uma corrida entre Aquiles e uma tartaruga
 
Aquiles, o herói grego, e a tartaruga decidem apostar uma corrida. Como a velocidade de Aquiles é maior que a da tartaruga, esta recebe uma vantagem, começando corrida um trecho na frente da linha de largada de Aquiles.
 
Aquiles nunca sobrepassa à tartaruga, pois quando ele chegar à posição inicial A da tartaruga, esta encontra-se mais a frente, numa outra posição B. Quando Aquiles chegar a B, a tartaruga não está mais lá, pois avançou para uma nova posição C, e assim sucessivamente, ad infinitum.
 
Em termos matemáticos, seria dizer que o limite, com o espaço entre a tartaruga e Aquiles tendendo a 0, do espaço de Aquiles, é a tartaruga. Ou seja, ele virtualmente alcança a tartaruga, mas nessa linha de raciocínio, não importa quanto tempo se passe, Aquiles nunca alcançará a tartaruga nem, portanto, poderá ultrapassá-la.
 
Esse paradoxo vale-se fortemente do conceito de referencial. Dada uma corrida somente de Aquiles, sem estar contra ninguém, seu movimento é ilimitado. Ao se colocar, porém, a tartaruga, cria-se um referencial para o movimento de Aquiles, que é o que causa o paradoxo. De fato, o movimento dele é independente do movimento da tartaruga; se adotamos a tartaruga como um padrão para determinar o movimento dele, criamos uma situação artificial em que Aquiles é regido pelo espaço da tartaruga. É uma visão do problema que pode remeter à mecânica quântica e ao Princípio da Incerteza formulado por Werner Heisenberg em 1927. Esse princípio rege que quão maior a certeza da localização de uma partícula, menor a certeza de seu momento, e isso é implicado pela existência de um observador no sistema físico. Analogamente, o paradoxo de Aquiles e da tartaruga tem sua interpretação mudada conforme a existência ou não da última, gerando o denominado Paradoxo quântico de Zenão, que em determinadas condições relacionadas à medição, Aquiles nunca alcançaria a tartaruga.
 
Incoerências do paradoxo
 
Ao se afirmar que, por tal argumento explícito acima, Aquiles nunca alcançará a tartaruga, Zenão desconsidera qualquer reflexão sobre o que é o tempo. A conclusão de que a tartaruga sempre estará a frente se sustenta sobre o argumento de infinitos deslocamentos simultâneos, de Aquiles e da tartaruga, mas que representam sempre um décimo em relação ao deslocamento anterior. Analogamente, o tempo transcorrido para cada deslocamento irá ser de um décimo do tempo do deslocamento anterior. Logo, tem-se que o tempo transcorrido é uma progressão geométrica de razão inferior a "um", o que significa que somando-se os infinitos intervalos de tempo dessa progressão, haverá um valor limite ao qual o somatório converge. Encontra-se, então, uma incoerência no paradoxo, porque ele define que a tartaruga nunca será alcançada, porém a análise temporal demonstra que isto acontecerá apenas neste intervalo de tempo fixo.
 
Supondo agora uma extensão da mecânica quântica (ainda em discussão na comunidade científica) na qual o tempo pode ser caracterizado por unidades mínimas indivisíveis, o paradoxo perde sua lógica à medida que os intervalos de tempo se aproximam da unidade fundamental, na qual o valor absoluto da velocidade de Aquiles é superior a da tartaruga, e consequentemente haverá a ultrapassagem, tornando Aquiles o vencedor da corrida.
 
Finito X infinito
 
A solução clássica para esse paradoxo envolve a utilização do conceito de limite e convergência de séries numéricas. O paradoxo surge ao supor intuitivamente que a soma de infinitos intervalos de tempo é infinita, de tal forma que seria necessário passar um tempo infinito para Aquiles alcançar a tartaruga. No entanto, os infinitos intervalos de tempo descritos no paradoxo formam uma progressão geométrica e sua soma converge para um valor finito, em que Aquiles encontra a tartaruga.
 
Outra solução é que esse é um raciocínio infinitesimal, em que cada objeto move-se infinitamente por distâncias que vão reduzindo-se infinitamente a cada etapa, o que só seria possível se as dimensões de cada objeto pudessem ser abstraídas, como se fossem pontos materiais, o que não ocorre, no mundo físico, pois as leis da mecânica clássica (de Newton) não se aplicam em espaços que tendem ao comprimento de Planck.


postado por Conhecermatemática as 10:34:38 # 0 comentários
quinta, 18 dezembro, 2014
curiosidades matemáticas

As cadeiras de 3 pés

O que é mais firme? Uma cadeira de 3 pés ou uma cadeira de 4 pés?

Você já percebeu que muitas vezes uma cadeira de 4 pés fica bamba? Isso não acontece com uma cadeira de 3 pés,que sempre será mais firme. Isso ocorre porque três pontos não alinhados sempre irão determinar um plano. Já quando temos uma cadeira com 4 pés, temos quatro pontos que poderão determinar até quatro planos. Como pode se apoiar em qualquer um deles, a cadeira poderá ficar “dançando”. Nesse caso, a solução seria colocar um calço em um dos pés, para que ele fique contido no mesmo plano dos demais.

Os humanos e os números

             Se dormirmos, em média, 8 horas por dia, aos 40 anos teremos dormido 13 anos.

             O esqueleto de um homem de 64 quilos pesa cerca de 11 quilos.

             Uma pessoa pisca os olhos aproximadamente 25 mil vezes por dia.

             Se as doenças do coração, o câncer e os diabetes fossem erradicados, a expectativa de vida do homem seria de 99,2 anos.

             As unhas da mão crescem aproximadamente 4 vezes mais rápido que as do pé.

             Os pés possuem um quarto dos nossos ossos.

             7 minutos é o tempo médio em que uma pessoa normal demora a adormecer.

             Se não exercitarmos o que aprendemos, esquecemos 25% em seis horas, 33% em 24 horas e 90% em seis meses.

             Com uma média de 70batidas por minuto, o coração bate 37 milhões de vezes por ano.

 

Resolva e ganhe U$ 1 milhão

No ano de 2000, o Clay Mathematics Institute anunciou que pagaria o prêmio de US$ 1 milhão a cada matemático que fosse capaz de resolver algum dos chamados “problemas do milênio”. Tratam-se de sete problemas criados ao longo dos séculos e que nunca haviam sido resolvidos.

 Após dez anos, o russo Grigori Perelman resolveu um deles, a “Conjectura de Poincaré”, uma série de cálculos abstrato senvolvendo esferas tridimensionais. Ele rejeitou o pagamento e, até agora,ainda é o único a riscar um problema da lista.

Caso você queira tentar embolsar o prêmio, segue a lista dos "problemas do milênio".

             P versus NP

             A conjectura de Hodge

             A conjectura de Poincaré (resolvido por Grigori Perelman)

             A hipótese de Riemann

             A existência deYang-Mills e a falha na massa

             A existência e suavidade de Navier-Stokes

             A conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer

 

Como quantificar pessoas em eventos públicos

Conhecer a quantidade de pessoas em um determinado local é importante para o Poder Público, pois assim poderá planejar o policiamento, estimar a necessidade real de profissionais das diversas áreas - médicos, enfermeiros, bombeiros, infraestrutura, e ainda,quantidade de copos de água, ambulância e outros benefícios.

 Este cálculo é fácil de fazer, bastando para isso uma simples operação matemática. Sabe-se que um metro quadrado (m²) pode ser ocupado por nove pessoas, no máximo, nas grandes concentrações.

As concentrações são divididas em três categorias: pequena, média e grande. Na concentração pequena, calculam-se três pessoas por metro quadrado; na média, seis pessoas; e na grande nove pessoas por metro quadrado.

Multiplicando-se o número médio de participantes por m² pela área útil ocupada, chegar-se-á ao número médio de pessoas presentes numa reunião. Eis a regra:

N P m² x A (m²) = T P A

Sendo:

  N P m² = número de pessoas porm²;

  A = área ocupada em m²;

  T P A = Número total de pessoas na área.

Exemplo hipotético: O cantor Roberto Carlos fará um show em um espaço livre de 100 metros de comprimento por60 metros de largura. Qual a capacidade de espectadores em pé neste local?

Temos os seguintes dados:

   Número de pessoas por metro quadrado = 9

  Área quadrada do local? 100 x 60 = 6000 m²

Resolvendo o problema 9 x 6000 = 54000.

Logo, 54000 é o número máximo de pessoas em pé que o local comporta.

Com apenas um olhar você pode ter o público aproximado. Se a quantidade de pessoas for como a de uma decisão de campeonato de futebol, multiplica-se a área quadrada por nove. Se você achar que tem muita gente, mas percebe muito espaço vazio, multiplique por 6. E assim sucessivamente.

Fonte: adaptado de abocadopovo.com.br


postado por Conhecermatemática as 09:07:18 # 0 comentários
quarta, 10 dezembro, 2014
CALCULANDO O Nº DE ENFEITES DA ÁRVORE DE NATAL




Dois alunos de 20 anos, membros da Sociedade de Matemática da Universidade de Sheffield (Reino Unido), em parceria com a loja Debenhams, criaram uma fórmula para decorar a árvore de Natal perfeita, pondo fim a ramos nus ou a decorações espalhafatosas e calculando a quantidade necessária de bolas, fitas, luzes e o tamanho da estrela no topo.

Para tal, é necessário primeiro encontrar a árvore e, mediante o seu tamanho, calcular a quantidade de enfeites. “Por exemplo, uma árvore de Natal de 180 centímetros (1,8 metro) precisaria de 37 bolas, cerca de 919 centímetros de fitas e 565 centímetros de luzes, e seria necessário um anjo ou estrela de 18 centímetros para terminar”, salientam em comunicado. A fórmula tem sido usada na loja para que os consumidores possam escolher as suas decorações no termo adequado.

E para calcular o número de bolas encontra-se a raiz quadrada de 17, dividindo o resultado por 20 e multiplicando pela altura da árvore em centímetros; para o comprimento da fita deve multiplicar-se 13 por Pi (3,1415), dividir o resultado por 8 e então multiplicar por 3; para o comprimento das luzes deve multiplicar-se Pi pela altura da árvore e para o tamanho (em centímetros) da estrela ou anjo para o topo da árvore, deve dividir-se a altura da árvore por 10.

Segundo os estudantes Nicole Wrightham e Alex Craig, a fórmula permite que os clientes comprem as suas decorações de Natal de forma astuta, levando apenas aquilo que precisam e deixando a sua árvore bem decorada. “A fórmula levou-nos aproximadamente duas horas até ser concluir. Esperamos que torne a preparação para o Natal um bocadinho mais fácil”, concluiu Nicole Wrightham.

A universidade disponibiliza ainda uma calculadora fácil de usar, onde basta colocar o tamanho da árvore em centímetros e o restante é automaticamente calculado.

Fonte: cienciahoje.pt


postado por Conhecermatemática as 04:33:52 # 0 comentários
 
Perfil
neneco
Meu Perfil

Links
Blog Grátis

Palavras-Chave
matemática
equação

Favoritos
Conhecermatemática
mais...

adicionar aos meus favoritos


Colaboradores do Blog


Comunidades
Não há comunidades.

Posts Anteriores
OS PARADOXOS DE ZENÃO
curiosidades matemáticas
CALCULANDO O Nº DE ENFEITES DA ÁRVORE DE NATAL
Equação do 2° grau incompleta
PARADOXOS MATEMATICOS
DESAFIO
MÉDIA ARITMÉTICA
Matemática da Vida
DERIVEI MEU AMOR
POEMA MATEMATICO

Arquivos
2017, 01 junho
2014, 01 dezembro
2014, 01 novembro
2014, 01 julho
2013, 01 julho
2013, 01 junho
2013, 01 abril
2011, 01 outubro
2011, 01 abril
2009, 01 novembro
2008, 01 maio
2007, 01 outubro

521 acessos
CRIAR BLOG GRATIS   
..